飞跃颠峰穿幽谷--应用数学大师欧拉

飞跃颠峰穿幽谷——应用数学大师欧拉

欧拉——人类历史上最伟大的应用数学家，结合数学与生活的第一人。在他以前，数学被认为是一种奢侈的头脑游戏，数学不能叫牛生产牛奶，数学不能让小麦生长，数学有什么用呢?欧拉用他的一生回答这个问题：他用数学设计轮船——启动了波浪动力学、他用数学研究耳朵——了解耳膜与听觉、他用数学来测量——整合了平面测量学、他用数学算渠道断面——开启了应用流体力学、他用数学算保险、精准货币——产生了计量经济学、他用数学算老鹰的飞翔——建立了航空动力学……今天数学课本函数用f(x)，半径用r，自然对数用e，总和用∑……这些符号都是他定的。世界每一本高等数学里都有欧拉微分方程式解，以及『欧拉公式』：eix=cosx+isinx十八世纪以后，每一位数学大师都声称受到欧拉的影响，每一个数学分支都可以看到欧拉的影子，欧拉的影响力是这样的大，却很少人知道欧拉像一只鸟，终生举着数学与信仰的双翼在飞翔。

〖轮船之谜〗

一七二七年，法国巴黎科学院灯火通明，一批科学家热烈讨论着欧洲科学竞赛里的一篇作品：

『这实在是件奇怪的事，一个在神学院里专攻古希伯来文的学生，竟然会提出一套数学解法——由海浪的运动，计算出一艘大轮船的结构设计?』

『更奇怪的是，这个名叫欧拉(LeonhardEuler)的年轻人，是来自群山之国瑞士。他自己坦白说他一生没有看过海，更没见过轮船，只看过瑞士的泛湖小舟。他这种超强的数学解析能力，实在是百年难得一见。』另一位科学家接口。

经过一番讨论，主席裁决：『如果我们不把科学竞赛的首奖颁给他，就是太没有眼光了。但是以轮船设计获得首奖的，是一个根本没有看过轮船的人，这消息如果传了出去，我们一定会成为笑柄。这样吧，今年没有第一名，只有佳作，然后把佳作奖颁给欧拉。希望这人知难而退，以后不要再给我们制造这种难题了。』

但是，欧拉显然不大合作，隔年又提出耳朵内的薄膜对于声波的共振数学，他又没看过耳朵薄膜。受不了他的洋溢天才，巴黎科学院只好把首奖颁给他。以后的十二年里，他的数学怪招又连得十二次首奖。

〖牧师爸爸〗

一七O七年四月十五日，欧拉生于瑞士的巴塞尔(Basle)。他的父亲是巴塞尔郊外一间小教会的牧师。欧拉从小成绩就很好，十四岁进大学。当时的中小学还没有数学课程，欧拉的父亲是位业余的数学家，就亲自教欧拉数学。

欧拉在神学院里遇到一位影响他一生的好老师伯努利(JohannesBernoulli，1667-1748)。这位法国老师是因为宗教大迫害，基督徒时刻要面临死亡的威胁，举家逃到信仰自由的瑞士。伯努利说：『在人类的思考学问里，最接近上帝的，不是神学，而是数学。因为数学家追求最高的精确、最合理的逻辑，而且会发现这个奇妙的宇宙，竟是经得起数学家一再推敲考证的对象……学数学的人会遇到一个强烈吸引他们的核心，使他们像抛物线般的被吸引回来，以面对宇宙里最基本的存在。』伯努利的家族出了好多数学教授，又都是基督徒，所以被称为数学界的『神圣支派』。

伯努利的数学课很特别：不教任何数学的内容，他只给问题，而且是非常难的问题。学生必须自己去看书找资料，或自己想办法。下星期学生交答案，老师讨论正确答案后，再给新的题目。在伯努利的课程里，数学是没有课本的。以欧拉的数学能力，要应付这种教学方式，仍然觉得『非常吃力，只有加紧勤奋用功』，才能赶上老师没有范围的教法。

三年下来，仍留下的学生只剩下欧拉与老师的儿子但以理·伯努利(DanielBernoulli)，这两个同学成为一生的好朋友。

但以理·伯努利在流体动力学(hydrodynamic)领域中非常有名，是每一个念土木工程、化学工程的学生所知道的。但以理·伯努利又被称为『数学物理之父』(thefounderofmathematicalphysics)。

〖数学啊!迷人〗

一七二四年，勤奋的天才欧拉，取得巴塞尔大学神学硕士学位。欧拉的父亲希望儿子回到教会担任传道人。当时整个欧洲大陆，没有需要数学为专职的工作，以天下之大，竟没有欧拉的容身之处。

一天，伯努利老师去拜访欧拉的父亲，因为『欧拉是天生的数学家』，老师看出欧拉会成为数学界最明亮的一颗彗星，『但是他受的神学教育怎么办?』父亲问道。伯努利回答：『数学不会抖落他身上任何的敬虔信仰，而且你看着吧，有一天他会成为数学界的神学家!』

欧拉继续留在巴塞尔大学。当时巴塞尔是医学与药学的重镇，兴趣广泛的欧拉又去旁听生理医学的课。他的数学能力碰上任何学科，就会像植物吸水一样，重新变化产生一个崭新的东西。他提出耳膜结构与声波的共振，并用数学去证明，这是医学教授办不到的事。数学碰到任何学科，就会带来革命性的改革，这就是应用数学迷人的地方。

〖血腥年代〗

一七二七年俄国在女皇凯撒琳一世(CatherineⅠ)的支持下，成立科学院，向欧洲招募杰出的科学家到俄国任教。欧拉也被聘请前往。谁知等他到达俄国首都圣彼得堡时，迎接他的不是科学教育大臣，而是秘密警察。

原来凯撒琳一世驾崩，俄国进入长达二十年的血腥内战，新任沙皇残杀异己，贵族之间争权夺利。欧拉期待的一批等着他教育的学生，完全消失。他不断看到有人被流放到西伯利亚，异议人士被挂在绞绳上。他本来被聘任的职位没有了，沦落到海军部当一名技术员。

当时很多人逃离俄国，俄国人也极端敌视外国人，欧拉却留了下来。历史上并没有任何线索可供我们判断他初期选择留下来的原因，但是有一件事情是可确定的：欧拉在秘密警察的监视下，在圣彼得堡持续研究他的数学达十五年之久。

欧拉在这段时间写成的作品，日后由瑞士政府集结成欧拉全集，足足有一百巨册。这十五年的苦难环境，反而为他隔绝出一个没有社交、没有会议、没有世俗酬酢的读书天堂，造就他成为人类历史上最多产的数学家，并博得『数学界之栋梁』(PillarinMathematics)的美誉。

欧拉后来写道：『数学家就是艺术家，像是米开朗基罗躺在教堂的天花板下，以无尽的热情，一笔、一笔地描绘出最精确的图画……什么是数学?数学是上帝花园中精选的百合花。』

一七三三年，欧拉与画家格塞尔(Gsell)的女儿凯瑟琳(Catharina)结婚。格塞尔也是瑞士人，与欧拉同样是身陷铁幕的异乡人。欧拉因为看不见和平的契机，而且他的朋友已大都逃出俄国，所以他婚后终于决定要逃亡。没想到行动前发现妻子怀孕了，爱家的欧拉只好暂缓逃亡计划，隔年逃亡前又发现妻子怀孕，只好再度留下来。凯瑟琳总共为他生了十三个孩子呢!

〖天才老爹〗

欧拉最有趣的是可以一面抱小孩，一面跟大孩子说故事，还一面思考他的数学。他的八百多篇数学研究报告，有好多篇原稿是写在孩子吃饭的围兜上、给孩子擦嘴巴的纸巾上……他这种随时随处可以解数学的能力，与他优秀的记忆力有关。

欧拉的长子后来回忆道：

『父亲为我们念书，我们觉得太好听了，请父亲再念一遍。我仍然记得，父亲是把书本合起来，从书本的第一行讲到最后一行……父亲还背了许多数学公式与复杂的数学计算。在父亲的身上，我看到数学不只需要理解，也需要记忆。』

欧拉天性喜欢小孩，他为小孩设计了许多数学游戏；每天晚上把儿女聚在一起，对他们讲一篇数学，再为他们一一祷告。

一七四O年，俄国残暴的沙皇死后，俄国逐渐恢复和平。欧拉的数学名声已经传遍欧陆，普鲁士国王腓特烈大帝(Frederick)特聘他为宫廷数学家，并兼任公主安哈特-笛所(Anhalt-dessau)的老师。

几年后他写了一本非常着名的青少年书籍《写给一个德国公主的信》(LetterstoaGermanPrincess)，论到物理、数学、文学与信仰。书中写道：

『任何抽象的思考，或是一般性的想法，离开文字(words)都无法存在。文字的存在不只是为了人与人的沟通，也是为了帮助人对真理有更深的耕耘。有人声称真理来自证据，我却认为证据没有文字化，人还是不认识真理。所以在新约圣经约翰福音的开始，第一句话就是「太初有道」(InthebeginningwastheWord)，这是一开始，上帝就将他自己，以文字的方式来表达那最核心的真理。』

〖负数存在吗?〗

欧拉对信仰的持守，使得德国高等批判主义分子对他攻击愈来愈厉害，腓特烈大帝对他也愈来愈疏远。

当时的哲学家流行一种自命不凡的聪明嘴脸，纯朴温和的欧拉显然与他们格格不入。一七六六年着名的哲学家休谟(DavidHume)来到德国，他的无神论受到盛大的欢迎，当时起来与他力辩的，竟是那平常不太爱表现的欧拉。欧拉用数学来辩明真理：

『你知道什么是根号-1吗?开根号的-1，既不等于0，也不大于0，更不小于0。那你说这种东西，在自然界不存在的东西，所以根号-1根本没有意义，所以数学里不该有根号-1!

但是你错了。如果没有开根号的负数，就不可能把12分成两部分，使其相乘等于40。这两部分就是6加上根号-4与6减去根号-4。

有太多自然界找不着的，却深深存在我们的意识里：再举一个例子：0减去2等于多少?等于-2。在自然界里你能找到-2吗?我一生研究数学，为数学着迷，数学给我最佳逻辑，但是我至今仍然不懂什么是-2的基本意义。

好吧，你说无法证明存在的就不存在!但是我告诉你，数学里如果没有-2，我们的数学就无法计算：如果-2不存在，根号-1不存在，数学就不存在：因此，即使无法用物质去证明上帝的存在，上帝仍然存在人的心里。』

〖惟一的解〗

为这一场辩论，欧拉失去了他的工作。一七六六年欧拉全家返回圣彼得堡。不久，着名的哲学家狄德罗(DenisDiderot)到俄国来宣传无神论，他编过法国百科全书，号称自己无所不知，与他在宫廷对辩的又是欧拉。欧拉只用一句话，就封住这位哲学家的口。欧拉说：

『先生，因为(a+b)n／n＝x，所以上帝存在，对不对?』

狄德罗答不出来，羞愧地离开俄国。无神论的错误，是用一个错误的前提去证明上帝是否存在——如同用无穷多组可能的(a十b)n／n＝x，去证明惟一存在的上帝。

〖眼盲心不盲〗

欧拉因为读书太用功了，在二十九岁时一眼失去视力，六十岁时另一眼也失去视力，成为全盲。瞎眼的欧拉继续演算他的数学。一七七一年圣彼得堡大火，欧拉的家与财产付之一炬。当时，瞎眼的欧拉没有办法逃出来，有一个仆人冲入火场把他背出来。他的学生闻讯立刻赶去，把老师一生的作品抢救出来。

一七七六年陪他历经一生患难的妻子辞世，欧拉逝于一七八三年九月十八日，遗言：『只有对上帝的信心，陪我走过这些苦难的日子。』

伯努利说得对，欧拉不只是数学家，也是一位神学家。

资料来源：

1.Kline,M.,1980,Mathematics.OxfordUniversityPress.USA.

2.Bell,E.T.,1965,AnalysisIncarnate-Euler.MenofMathematics.pp.139-152.Simon&Schuster.USA.

3.Graves,D.,1996.LeonhardEuler-TheProlificMathematician.ScientistsofFaith.pp.80-83.

KregelPublications.USA.